Gestión del Riesgo de Tipo de interés en Renta Fija: ajustes por CONVEXIDAD.

Ya conocemos que las variaciones de las carteras de bonos y los bonos en sí, uno a uno, se ven afectadas por las variaciones de los tipos de interés o la TIR, que también somos conscientes modifica ese valor del precio del activo desde el denominador de la fórmula precio de un bono.

Sabemos también que el concepto de la Duración, la Duración modificada y la Sensibilidad, nos ayudan a calcular cómo se afecta el precio de los bonos y carteras. Estas medidas, nos dan información de como el riesgo de tipos de interés se manifiesta en los bonos.

Pero hay un ajuste más que aproxima de manera más real el precio que se manifiesta en la variación de la TIR con el denominado ajuste por convexidad.

Repasando, sabemos que el precio de los bonos no cambia de la misma manera ante un cambio de los tipos de interés por la influencia de un solo factor. Es por la afectación de varios factores:

v  Nivel de tipos de interés: relación inversa.

v  Tiempo hasta vencimiento: relación directa.

v  Importe del cupón: relación inversa.

v  Periodicidad del pago del cupón: relación inversa.

Es por ello que, al verse afectado por todas estas variables a la vez, se hace más complicado el valorar el precio de un bono o una cartera por los cambios de tipos de interés.

Pero si además disponemos de una gráfica que muestre la relación de precio y TIR en una curva, esta representará una forma convexa.

En esta gráfica ya estamos viendo que necesitamos de dos conceptos para poder saber cómo varía el precio de un bono ante una variación del tipo de interés TIR:

1.      Duración.

2.      Convexidad.

Pero antes de avanzar recordemos todo lo relacionado con la Duración y como con tres fórmulas podemos hacer todos los cálculos necesarios de variación de los precios del bono desde el factor Duración- Sensibilidad.

De manera que con un simple dato podremos saber qué bono o cartera se verá más afectado por un cambio en la TIR, sin necesidad de saber los otros factores que influyen: vencimiento, importe de cupones o periodicidad…

Partiremos de la fórmula que sirve para calcular el cambio %  o relativo del precio de un bono ante un cambio relativo del tipo de interés:

                                             ∆P/P = -D * ∆r / 1+r

Esta fórmula que nos da la variación relativa del precio de un bono ante cambios relativos de la TIR, afectados por la duración con signo negativo por la relación inversa entre precio y TIR, cuenta con el problema de que los cambios de la TIR se expresan en forma absoluta, es decir, en puntos básicos. Para resolver este asunto se crea la Dm o Duración modificada con una nueva relación:

D / 1+r = Dm      

Entonces usaremos en la fórmula de cálculo de la variación del precio la Duración modificada, de manera que podremos sacar el cambio porcentual del precio de un bono ante un cambio absoluto de la TIR:

∆P / P = - Dm * ∆r

El otro valor que usamos para medir las variaciones de precios de los bonos ante los cambios en la TIR es la propia sensibilidad que tiene como fórmula que parte de la duración:

S = D / 1+r P / 100    también    S = Dm P / 100

Donde sacamos la variación absoluta del precio de un bono ante un cambio absoluto del tipo de interés:

∆P = -S * ∆r

Como quiera que el precio del bono lo podemos expresar tanto en unidades de cotización p.b., como en unidades monetarias, podremos usar la sensibilidad para las variaciones del precio de una manera u otra.

Como conclusión podremos acceder a cálculo de los nuevos precios de un bono o una cartera a partir de la modificación de la TIR, en términos absolutos o relativos por medio de las distintas posibilidades que nos dan las tres fórmulas anteriores:

v  ∆P/P = -D * ∆r / 1+r.

v  ∆P / P = - Dm * ∆r.

v  ∆P = -S * ∆r.

El uso de la Duración modificada y la sensibilidad nos darán aproximaciones sencillas de los nuevos precios del bono o cartera. Pero debemos recalcar que son aproximaciones. Además, podemos anticipar antes de resolver esta diferencia, que la desviación será pequeña en caso de variaciones no muy importantes de la TIR, y esa desviación será conservadora.

Esta información de “conservadora” debe ser matizada en el sentido que, tanto en las subidas como en las caídas del precio, estos movimientos serán mayores en realidad. Esta característica es la que nos introduce al concepto siguiente que es el de la convexidad.

Y volveremos a utilizar la curva anterior que nos explicaba la relación inversa entre precio y TIR para poder relacionar y entender los ajustes que el precio tiene por ambos efectos:

∆P= Ajuste por Sensibilidad + Ajuste por convexidad.

Usando la sensibilidad como ajuste del precio, nos movemos por la tangente de la curva, cuando en realidad el precio del bono se mueve por la línea curva convexa.

La convexidad nos ajusta el resultado de variación del precio a la realidad de la curva de tipos, funcionando como segunda derivada del precio del bono ante movimientos del tipo de interés y siempre, sumando al ajuste de la sensibilidad, como la fórmula indicada debajo.

∆P= Ajuste por Sensibilidad + Ajuste por convexidad

El coeficiente corrector de convexidad (CCC) que como hemos indicado es la segunda derivada del precio del bono ante movimientos de tipos de interés quedaría tal como:

Esta fórmula de la convexidad absoluta será modificada para realizar el ajuste por convexidad y obtener el precio del bono ante movimientos de la TIR utilizando el Coeficiente Corrector de Convexidad CCC, que dado el valor de la convexidad del bono C:

C.C.C.= 1/2*C* (1/100)2

Y el ajuste del precio por la sensibilidad y la convexidad quedará definitivamente formulado como:

∆P= (-S*∆r) + (C.C.C. * ∆r2)

Una variación del precio de un bono ante variaciones del tipo de interés en el que podemos observar que el ajuste por sensibilidad sumará o restará al precio en función de la relación inversa precio/TIR, y por otro lado, el ajuste por convexidad sin embargo siempre sumará donde la variación de r al cuadrado será siempre positiva.

El CCC expresado en unidades de cotización nos indica que si la TIR se altera 100 puntos básicos (pb), el precio del bono se moverá aproximadamente el valor de CCC en puntos porcentuales de forma adicional a la estimada, en sentido negativo o positivo, por la sensibilidad.

En el caso de usar el CCC en unidades monetarias, indicará que, si la TIR modifica 100 pb, el precio del bono se moverá aproximadamente una determinada cantidad de unidades monetarias.

Aplicaciones para las cateras de renta fija.

Tanto la Duración como la Duración de Macaulay en una cartera es considerada con la propiedad aditiva, de modo que la aproximación que se utiliza para el cálculo de la duración de una cartera es la media ponderada de las duraciones individuales. La ponderación se realiza en función del valor efectivo de cada activo.

Dcartera= ∑i=1n (Pi*Di) / Vc.

Donde Di son las duraciones de los bonos de la cartera, y Pi los valores efectivos de cada bono. Vc será el calor efectivo de la cartera.

Podemos aplicar este cálculo a la Duración modificada con la misma fórmula y usando las Duraciones modificadas de los distintos bonos.

La Sensibilidad también tiene propiedad aditiva y permite que se use como aproximación el cálculo de la sensibilidad de una cartera a partir del agregado de las carteras de bonos individuales expresadas en unidades monetarias.

La Convexidad de una cartera también tiene la propiedad aditiva y por tanto podemos calcular desde las convexidades individuales el total de la convexidad de la cartera desde el CCC en unidades monetarias de cada uno de los bonos.

En el cálculo de la sensibilidad de las carteras los resultados de la sensibilidad deberán manifestarse en unidades monetarias que nos darán las variaciones de la cartera por este concepto en caso de bajadas o subidas de tipos.

El cálculo del Coeficiente Corrector de Convexidad, también lo calcularemos en unidades monetarias.