Valoración de opciones

La referencia de valoración de las opciones son los valores de las primas que se pagan o cobran por la compra o venta de opciones.

Con la valoración de las opciones pretendemos ver en primer lugar las variables que influyen en el precio o prima de las opciones, identificando también en cada caso si se encuentran en alguna de las tres posiciones básicas en función del precio del subyacente: ITM, OTM o ATM.

Es fundamental también reconocer y calcular en cada momento el valor intrínseco y el valor temporal de las opciones.

Valoraremos las opciones por los dos métodos o modelo de Black & Scholes y modelo binomial, además de conocer la relación de la prima de la put y la prima de la call a través de la teoría de la paridad put-call.

Hemos hecho un resumen de todas las cosas que vamos a ver para poder valorar las opciones. Pasamos a ver cada una de ellas, empezando por las variables que influyen en la cotización de las primas y por tanto en la valoración de las opciones.

Las variables que influyen en la prima de las opciones

Estas variables son esencialmente 6 y además de influir generan un movimiento de sentido inverso o directo al del precio o prima de las opciones. Además de poder verlas en esta tabla, vamos a explicarlas en función de esa relación:

1.      Precio del activo subyacente: podemos observar que mantiene una relación diferente según estemos ante una opción call o put, de manera que…

a.      Ante una opción call la subida del activo subyacente hace que la prima de la call suba, en una relación directa.

b.      Ante una opción put la subida del activo subyacente hace que la prima de la opción put baje, en una relación inversa.

2.      Precio de ejercicio del activo subyacente: podemos intuir que conforme alejamos el precio de ejercicio del activo subyacente, encontraremos también movimientos diferentes según se trate de una opción call o una opción put…

a.      Ante una opción call cuando elevamos o alejamos el precio de ejercicio del activo subyacente, ante una opción call veremos que la prima se reduce, en una relación inversa.

b.      Ante una opción put cuando elevamos o alejamos el precio de ejercicio del activo subyacente, ante una opción put veremos que la prima crece, en una relación directa.

3.      La volatilidad influye en el precio de la prima de una manera directa en todos los casos, de modo que subidas de la volatilidad encarecen tanto las primas de las put como de las call.

4.      El tipo de interés, sin riesgo, afecta en este caso cuando sube en sentidos contrarios a las primas de las opciones call y put de modo que…

a.      Ante una opción call, subidas del tipo de interés le afectan de manera directa subiendo el precio de la prima de la call.

b.      Ante una opción put, subidas del tipo de interés le afectan de manera inversa bajando el precio de la prima de la put.

5.      Los dividendos influyen en los precios de la prima de las opciones de manera diferentes si son opciones call o put. De manera que…

a.      Ante una opción call, subidas de dividendos o los dividendos en sí, reducen el precio de los activos, en una relación inversa.

b.      Ante una opción put, bajadas de dividendos o los dividendos en sí, aumentan el precio de los activos, en una relación inversa.

6.      El tiempo hasta vencimiento es un factor que influye de igual modo en el caso de la prima de la put y de la call de manera que vencimientos más largos o alejados hacen más caras las primas.

Situaciones de las opciones en función de la evolución del precio subyacente: ITM, ATM, OTM.

Las opciones tanto call como put podremos encontrarlas en tres situaciones distintas.

Las opciones call pueden clasificarse en tres categorías según su relación con el precio del activo subyacente:

·        In the Money (ITM): Una opción call está ITM cuando el precio de ejercicio es inferior al precio actual del activo subyacente. Esto significa que la opción tiene valor intrínseco y puede ejercerse con ganancia inmediata.

·        At the Money (ATM): Una opción call está ATM cuando el precio de ejercicio es igual al precio actual del activo subyacente. En este caso, la opción no tiene valor intrínseco, pero aún conserva valor temporal.

·        Out of the Money (OTM): Una opción call está OTM cuando el precio de ejercicio es superior al precio actual del activo subyacente. En este caso, la opción no tiene valor intrínseco y solo tiene valor temporal.

 Vemos debajo un gráfico ejemplo de compra de una opción call para entender todo ello.

Las opciones put se clasifican en tres categorías según su relación con el precio del activo subyacente:

·        In the Money (ITM): Una opción put está ITM cuando el precio de ejercicio es superior al precio actual del activo subyacente. Esto significa que la opción tiene valor intrínseco y puede ejercerse con ganancia inmediata.

·        At the Money (ATM): Una opción put está ATM cuando el precio de ejercicio es igual al precio actual del activo subyacente. En este caso, la opción no tiene valor intrínseco, pero aún conserva valor temporal.

·        Out of the Money (OTM): Una opción put está OTM cuando el precio de ejercicio es inferior al precio actual del activo subyacente. En este caso, la opción no tiene valor intrínseco y solo tiene valor temporal.

Ahora vemos un gráfico que representa todo ello en el caso de una opción put comprada.

Valor intrínseco y valor temporal de las opciones.

Podemos observar como en la descripción que hacemos de la situación del precio del subyacente en relación con su precio de ejercicio aparecen dos valores:

·        Valor temporal.

·        Valor intrínseco.

Estos dos tipos de valores se explican desde una fórmula de composición que nos da el valor de la prima de la opción:

Prima = Valor intrínseco + Valor temporal.

De esta fórmula sacamos que el valor intrínseco de una opción es el beneficio que en cada momento se obtendría si se ejercitase la opción. Solo puede ser positivo o nulo, ya que mientras no se alcance el precio de strike y la opción no esté ITM, el valor de la opción es cero. No cobraríamos nada por ejercerla salvo a partir de ese momento. Este valor intrínseco no tiene en cuenta la prima pagada.

Por otro lado, el valor temporal de una opción será el importe de la prima en el que excede al valor intrínseco de la opción. Este es siempre el valor de la prima hasta el precio de ejercicio Cuando la opción está OTM todo será valor temporal. Al vencimiento, todo será valor intrínseco, aunque sea cero.

Debemos indicar que el valor de la prima tiene una evolución temporal, tal y como se describe en el gráfico de abajo.

Por lo tanto, podemos sacar dos valores de la fórmula principal para sacar el valor temporal de la prima:

VT = Prima – Valor intrínseco (VI).

VT = 0 en el vencimiento, todo será valor intrínseco.

MODELOS DE VALORACIÓN DE OPCIONES.

Para la valoración de las opciones, en definitiva, el cálculo de valor de la prima de una opción, utilizamos dos modelos fundamentales de valoración:

·        Modelo de valoración de Black & Scholes.

·        Modelo de valoración binomial.

Estos modelos serán explicados para opciones europeas sobre acciones sin dividendos, que nos obliga a hacer aquí una interrupción para diferenciar entre las opciones americanas y las europeas. La diferencia clave entre ellas radica en cuándo pueden ejercerse:

• Opciones americanas: Pueden ejercerse en cualquier momento antes de la fecha de vencimiento. Esto brinda mayor flexibilidad a los inversores, permitiéndoles aprovechar oportunidades de mercado favorables antes del vencimiento.

  
  

• Opciones europeas: Solo pueden ejercerse en la fecha de vencimiento. Esto significa que el inversor debe esperar hasta el final del contrato para ejecutar la opción, lo que puede limitar la capacidad de reacción ante cambios en el mercado.

En general, las opciones americanas suelen ser más costosas debido a su flexibilidad, mientras que las opciones europeas pueden tener primas más bajas. Las opciones americanas son comunes en acciones individuales, mientras que las europeas predominan en índices y ciertos productos financieros con derivados.

Si bien la metodología de cálculo de los dos modelos es diferente existen similitudes y nexos de unión que no debemos perder de vista.

Modelo de Black & Scholes.

El modelo de Black-Scholes es una fórmula matemática utilizada para valorar opciones financieras, especialmente opciones europeas. Fue desarrollado por Fischer Black y Myron Scholes, con contribuciones de Robert Merton, y se basa en la teoría de procesos estocásticos. Más concretamente se basa en la hipótesis de que el precio de la acción subyacente de una opción sigue un proceso estocástico browniano geométrico definido por una expresión:

∆S/S = r ∆t + σ √∆t * Ƹ

Conceptos clave del modelo

El modelo calcula el precio teórico de una opción basándose en cinco factores principales:

1. Precio actual del activo subyacente (S)

2. Tiempo hasta la expiración o simple variación temporal (∆t)

3. Volatilidad anual del activo subyacente (σ)

4. Tasa de interés libre de riesgo (r)

5. Variable aleatoria que sigue una normal estándar: ɸ (0.1) (Ƹ)

   
   
   
   

Este proceso estocástico incorporado a un modelo binomial en el que el número de períodos n tiende a infinito, lleva a que las expresiones para calcular la prima de una call europea sin dividendos C, y la prima de una put europea sin dividendos, P, sean las siguientes:

 Para una opción de compra (Call), la fórmula es:

C = S0 ɸ (d1, 0.1) – X e-r*t * ɸ (d2, 0,1)

Donde:

1.      S0 es el precio inicial de la acción.

2.      X es el strike de la opción.

3.    e-r*τ es el factor de descuento: r es el rendimiento del activo libre de riesgo y τ es el tiempo restante hasta vencimiento.

4.    ɸ (d1,0,1) es el valor de la distribución acumulada de una normal estandarizada en d1.

Para una opción de venta (Put), la fórmula es:

P = X e-rt ɸ (-d2, 0,1) - S0 ɸ (-d1, 0.1)

Suposiciones del modelo

El modelo de Black-Scholes se basa en ciertas suposiciones:

• No hay costos de transacción ni impuestos.

• La tasa de interés libre de riesgo es constante.

• La volatilidad del activo subyacente es constante.

• No hay oportunidades de arbitraje.

• El activo subyacente no paga dividendos.

Limitaciones

Aunque es ampliamente utilizado, el modelo tiene algunas limitaciones:

• No considera cambios en la volatilidad.

• No es completamente preciso para opciones americanas.

• No contempla eventos inesperados en el mercado.

Este modelo revolucionó la valoración de opciones y sigue siendo una herramienta fundamental en las finanzas modernas.

Modelo binomial.

El modelo binomial de valoración de opciones es un método utilizado para calcular el precio de una opción financiera que a diferencia del modelo de Black-Scholes asume cambios continuos en el precio del activo subyacente. Su hipótesis es que el precio de una acción sigue un proceso estacionario binomial simple, por el que cada instante temporal la acción puede subir o bajar en un determinado porcentaje.

Conceptos clave del modelo:

1. Árbol binomial: Se construye un árbol de posibles precios futuros del activo subyacente, donde en cada período el precio puede aumentar o disminuir en una proporción fija.

   
   

2. Probabilidad neutral al riesgo: Se calcula la probabilidad de que el precio suba o baje, ajustada para eliminar cualquier oportunidad de arbitraje.

   
   

3. Valoración hacia atrás: Se comienza por calcular el valor de la opción en los nodos finales del árbol y luego se retrocede hasta el presente, descontando los valores futuros a la tasa libre de riesgo.

   
   

Si el precio de la acción en un determinado momento es S0 tendrá un factor de subida fijo u y un factor de bajada fijo d, de manera que, para un período temporal determinado, el precio de la acción podrá tomar los valores de S0 * u y de S0 * d. Veamos en el gráfico de abajo donde S es P:

Como vemos se utilizan unos factores de subida u y bajada d fijos que se van aplicando en cada uno de los nodos en cada espacio temporal hasta llegar al final del periodo que se quiere calcular.

A su vez se irán aplicando una serie de probabilidades p como probabilidad de escenario alcista y q como probabilidad de escenario bajista.

Como dijimos, el proceso binomial se repite t o n períodos creando un diagrama de árbol tan grande como los periodos elegidos de cálculo, donde la probabilidad asociada a cada uno de los posibles valores que pueda tomar el precio de la acción queda definida por una expresión binomial:

donde k o x es el número de subidas y n-k o x el número de bajadas experimentadas en el precio de la acción, generando de ese modo al final del árbol, en cada una de sus terminaciones distintos valores de la fórmula arriba indicada desde la opción con todas las subidas hasta la de más abajo con todas las bajadas (nk)  multiplicadas por sus probabilidades elevadas al número de subidas y multiplicadas por la combinación de cada caso de subidas y bajadas.

En el proceso de “ramificación” del árbol, en el caso de una opción call europea, tendremos que el valor Cun  será el resultado de que la prima inicial o anterior sube por la subida del subyacente y Cdn será el resultado de que la prima inicial o anterior baja por la bajada del activo subyacente. Todos estos resultados se podrán extrapolar en n periodos haciendo crecer el árbol y con resultados finales de las primas:

MAX (S0 * un – X,0), como el valor intrínseco de la call a vencimiento en caso de que el precio de la acción siempre suba.

MAX (S0*un-1d-X,0), como el valor intrínseco de la call a vencimiento en caso de que el precio de la acción suba excepto un período, y así sucesivamente.....

Para el caso de un activo libre de riesgo en mercado, la prima de la opción call se calculará bajo condición de neutralidad al riesgo, permitiendo que se cumpla la expresión para cada uno de los períodos:

u*p + d*q = 1+r

donde r es el rendimiento efectivo del activo libre de riesgo. El resto de valores los conocemos, y son las probabilidades de subida y bajada p y q respectivamente, y por otro lado los factores de crecimiento y bajada de las acciones o activos u y d respectivamente.

Podemos entonces obtener el precio de la call en cada instante inicial, C0, que se calculará por el valor presente de la esperanza matemática de su payoff a vencimiento.

C0 = FD*∑MAX (S0 uk dn- X;0) (nk) pk* qn-k

Esta es la esperanza del payoff de la call a vencimiento, donde el factor de descuento es FD es = 1/ (1+r) elevado n.

Y el valor de ∑ irá desde K=0 a n.

Donde:

• (C0) es el precio de la opción en el nodo actual.

• (Cu) y (Cd) son los valores de la opción en los nodos superiores e inferiores.

• (p) es la probabilidad neutral al riesgo de que el precio suba.

• (q) es la probabilidad neutral al riesgo de que el precio baje.

• (r) es la tasa de interés libre de riesgo.

Para obtener el precio de una put europea sin dividendos sobre una acción en un proceso binomial de n periodos como el descrito hasta ahora, y teniendo como precio inicial o anterior P0, se calculará el valor presente de la esperanza:

P0 = FD*∑MAX (X-S0 uk dn-;0) (nk) pk* qn-k

Esta es la esperanza del payoff de la put a vencimiento, donde el factor de descuento es =1/(1+r)n.

Ventajas del modelo binomial

• Permite valorar opciones americanas, ya que considera la posibilidad de ejercerlas antes del vencimiento.

• Es más flexible que el modelo de Black-Scholes, ya que puede adaptarse a diferentes condiciones de mercado.

• Se puede ajustar para incluir dividendos y otros factores que afectan el precio del activo subyacente.

Este modelo es ampliamente utilizado en finanzas para valorar opciones de manera precisa y estructurada.

Toda esta información complicada de escribir y quizás de entender nos lleva a la verdadera forma en que se suelen hacer algunos cálculos de las primas de call y put cuando nos encontramos con el valor de una de ellas.

PARIDAD PUT-CALL.

Antes de desarrollar la teoría práctica de la paridad put-call es interesante reseñar la posibilidad de hacer futuros con el uso de opciones. Esta manera de llegar a tener posiciones en futuros de manera indirecta es conocida como futuros sintéticos.

En definitiva, los futuros sintéticos son instrumentos financieros creados mediante la combinación de opciones de compra (call) y opciones de venta (put) con el mismo precio de ejercicio y fecha de vencimiento cuyo propósito es replicar el comportamiento de un contrato de futuros tradicional.

Características principales

• Se construyen combinando una call comprada y una put vendida (para simular una posición larga en futuros) o una call vendida y una put comprada (para simular una posición corta).

  
  

• Permiten a los inversores gestionar el riesgo y ajustar su exposición al mercado sin necesidad de operar directamente con futuros estándar.

  
  

• Se utilizan en estrategias de arbitraje, cobertura y especulación.

ejemplo de futuro sintético vendedor, como la suma de una put comprada y una call vendida.

Ventajas

✅ Mayor flexibilidad en comparación con los futuros tradicionales.

✅ Posibilidad de personalizar la exposición al mercado.

✅ Uso en estrategias de inversión avanzadas.

Si un inversor quiere replicar la compra de un futuro sobre un activo, puede comprar una opción de compra (call) y vender una opción de venta (put) con el mismo precio de ejercicio y vencimiento. Esto generará una exposición similar a la de un contrato de futuros.

Las fórmulas en cada caso serían:

Futuro sintético comprador = P ejercicio + (prima de call comprada-prima put vendida) (1+ti).

Futuro sintético vendedor = P ejercicio + (prima de call vendida-prima de put comprada) (1+ti).

La paridad put-call es un principio fundamental en la valoración de opciones europeas que establece una relación matemática entre el precio de una opción de compra (call) y una opción de venta (put) con el mismo activo subyacente, precio de ejercicio y fecha de vencimiento.

Fórmula de la paridad put-call

La ecuación que describe esta relación es:

C + FD * K = P + S

Donde:

• (C) = Precio de la opción de compra.

• (P) = Precio de la opción de venta.

• (S) = Precio del activo subyacente.

• (K) = Precio de ejercicio de la opción.

• (FD) = Valor presente del precio de ejercicio, descontado a la tasa libre de riesgo.

La paridad put-call implica que la combinación de una opción de compra y una posición corta en el activo subyacente debe tener el mismo valor que una opción de venta y una posición larga en el activo. Si esta relación no se cumple, se generan oportunidades de arbitraje, permitiendo a los inversores obtener beneficios sin riesgo.

Aplicaciones

• Se usa para detectar desviaciones de precios en el mercado de opciones.

• Ayuda a los inversores a construir estrategias de cobertura.

• Es clave en la valoración de opciones europeas.